Étape 1
D'après les données de l'énoncé, le reste de la division euclidienne de $N$ par $18$ vaut $5$. Il existe donc un entier naturel $k$ tel que : $$N = 18k + 5$$
Étape 2
Le nombre $19$ est un nombre premier et il ne divise pas $7$. D'après le petit théorème de Fermat, on a : $$7^{18} \equiv 1 \pmod{19}$$
Étape 3
En remplaçant $N$ par $18k + 5$, on peut simplifier la puissance $7^N$ modulo $19$ : $$7^N = 7^{18k+5} = (7^{18})^k \times 7^5 \equiv 1^k \times 7^5 \pmod{19}$$ d'où $7^N \equiv 7^5 \pmod{19}$.
Étape 4
Calculons la valeur de $7^5 \pmod{19}$ par étapes : $$7^2 = 49 = 2 \times 19 + 11 \equiv 11 \pmod{19}$$ $$7^3 = 7 \times 7^2 \equiv 7 \times 11 = 77 = 4 \times 19 + 1 \equiv 1 \pmod{19}$$ Ainsi : $$7^5 = 7^3 \times 7^2 \equiv 1 \times 11 = 11 \pmod{19}$$ On en déduit que $7^N \equiv 11 \pmod{19}$.
Étape 5
La condition de divisibilité « $7^N + N$ est divisible par $19$ » se traduit par : $$7^N + N \equiv 0 \pmod{19}$$ En remplaçant $7^N$ par sa valeur modulo $19$, cela équivaut à : $$11 + N \equiv 0 \pmod{19}$$ ce qui équivaut à $N \equiv -11 \pmod{19}$, c'est-à-dire : $$N \equiv 8 \pmod{19}$$
Étape 6
Exprimons cette condition en fonction de l'entier $k$ sachant que $N = 18k + 5$ : $$18k + 5 \equiv 8 \pmod{19}$$ Comme $18 \equiv -1 \pmod{19}$, cela équivaut à : $$-k + 5 \equiv 8 \pmod{19}$$ d'où $-k \equiv 3 \pmod{19}$, ce qui donne : $$k \equiv -3 \equiv 16 \pmod{19}$$
Étape 7
L'entier $k$ s'écrit donc sous la forme $k = 19m + 16$ avec $m$ un entier naturel. Pour obtenir le plus petit entier naturel non nul $N$, on choisit la plus petite valeur possible pour $k$, soit $m = 0$, ce qui donne $k = 16$.
Étape 8
On calcule enfin la valeur de $N$ correspondante : $$N = 18 \times 16 + 5 = 288 + 5 = 293$$
Méthode clé
Si $p$ est un nombre premier ne divisant pas $a$, alors $a^N \pmod p$ dépend uniquement du reste de $N$ dans la division euclidienne par $p-1$, car $a^{p-1} \equiv 1 \pmod p$.
Piège à éviter
Confondre les modulo : l'exposant $N$ se réduit modulo $18$ (car $p-1 = 18$), tandis que le nombre $N$ lui-même s'étudie modulo $19$.
