Exercice : Congruences dans ℤ et résolution d'équations modulaires

Étape 1

Comme $7$ et $17$ sont premiers entre eux, c'est-à-dire $\text{PGCD}(7, 17) = 1$, le nombre $7$ admet un unique inverse modulo $17$ dans l'ensemble $\{0, 1, \dots, 16\}$.

Étape 2

On cherche un entier $u \in \{0, 1, \dots, 16\}$ tel que $7u \equiv 1 \pmod{17}$. En examinant les multiples de $7$, on observe que $$7 \times 5 = 35 = 2 \times 17 + 1$$ D'où $$7 \times 5 \equiv 1 \pmod{17}$$ L'inverse de $7$ modulo $17$ est donc $5$.

Étape 3

En multipliant chaque membre de la congruence $7x \equiv 12 \pmod{17}$ par $5$, on obtient $$5 \times (7x) \equiv 5 \times 12 \pmod{17}$$ Ce qui équivaut à $$(5 \times 7)x \equiv 60 \pmod{17}$$ Comme $5 \times 7 \equiv 1 \pmod{17}$, l'équation se simplifie en $$x \equiv 60 \pmod{17}$$

Étape 4

On effectue la division euclidienne de $60$ par $17$ : $$60 = 3 \times 17 + 9$$ Ainsi $60 \equiv 9 \pmod{17}$, ce qui donne $$x \equiv 9 \pmod{17}$$ L'unique solution dans l'ensemble $\{0, 1, \dots, 16\}$ est donc $9$.