Étape 1
Déterminons d'abord le reste de la division euclidienne de $3^{2026}$ par $13$. Calculons les premières puissances de $3$ modulo $13$ : $3^1 \equiv 3 \pmod{13}$, $3^2 \equiv 9 \pmod{13}$ et $3^3 = 27 = 2 \times 13 + 1 \equiv 1 \pmod{13}$. On effectue la division euclidienne de $2026$ par $3$ : $$2026 = 3 \times 675 + 1$$ Par compatibilité de la congruence avec les puissances et la multiplication, on obtient : $$3^{2026} = \left(3^3\right)^{675} \times 3^1 \equiv 1^{675} \times 3 \equiv 3 \pmod{13}$$
Étape 2
Déterminons ensuite le reste de la division euclidienne de $5^{2025}$ par $13$. Calculons les premières puissances de $5$ modulo $13$ : $5^1 \equiv 5 \pmod{13}$ et $5^2 = 25 = 2 \times 13 - 1 \equiv -1 \pmod{13}$. On en déduit que $5^4 = \left(5^2\right)^2 \equiv (-1)^2 \equiv 1 \pmod{13}$. On effectue la division euclidienne de $2025$ par $4$ : $$2025 = 4 \times 506 + 1$$ D'où : $$5^{2025} = \left(5^4\right)^{506} \times 5^1 \equiv 1^{506} \times 5 \equiv 5 \pmod{13}$$
Étape 3
Par compatibilité de la congruence avec l'addition, le nombre $N$ vérifie : $$N = 3^{2026} + 5^{2025} + a \equiv 3 + 5 + a \equiv 8 + a \pmod{13}$$ Le nombre $N$ est divisible par $13$ si et seulement si $N \equiv 0 \pmod{13}$, ce qui équivaut à : $$8 + a \equiv 0 \pmod{13}$$ Ce qui donne $a \equiv -8 \pmod{13}$. Comme $-8 \equiv -8 + 13 \equiv 5 \pmod{13}$, on a $a \equiv 5 \pmod{13}$. L'entier $a$ étant compris entre $0$ et $12$, la seule valeur possible est $a = 5$.
Méthode clé
Pour réduire une grande puissance $b^k$ modulo $n$, on cherche un entier $p$ tel que $b^p \equiv 1 \pmod n$ ou $b^p \equiv -1 \pmod n$, puis on effectue la division euclidienne de $k$ par $p$.
Piège à éviter
Confondre l'exposant et la base lors des calculs de congruence, ou oublier que la congruence est compatible avec l'addition.
