Exercice : Congruences dans ℤ et résolution d'équations modulaires

Étape 1

Soit $A_n = 2^{3n+1} + 3 \times 5^n$ pour tout entier naturel $n$. On étudie la divisibilité de $A_n$ par $11$ à l'aide des congruences.

Étape 2

On remarque que $2^{3n+1} = 2 \times (2^3)^n = 2 \times 8^n$. D'après les propriétés de compatibilité de la congruence avec les opérations d'addition et de multiplication :

Étape 3

$$A_n \equiv 2 \times 8^n + 3 \times 5^n \pmod{11}$$

Étape 4

On calcule les restes modulo $11$ des puissances successives de $8$ et de $5$ :

Étape 5

Pour $8$ : $8^0 \equiv 1$, $8^1 \equiv 8$, $8^2 \equiv 9$, $8^3 \equiv 6$, $8^4 \equiv 4$, $8^5 \equiv 10$, $8^6 \equiv 3$, $8^7 \equiv 2$, $8^8 \equiv 5 \pmod{11}$.

Étape 6

Pour $5$ : $5^0 \equiv 1$, $5^1 \equiv 5$, $5^2 \equiv 3$, $5^3 \equiv 4$, $5^4 \equiv 9$, $5^5 \equiv 1$, $5^6 \equiv 5$, $5^7 \equiv 3$, $5^8 \equiv 4 \pmod{11}$.

Étape 7

On évalue ensuite $A_n$ modulo $11$ pour les premières valeurs entières de $n$ :

Étape 8

Pour $n=0$ : $A_0 \equiv 2 \times 1 + 3 \times 1 = 5 \pmod{11}$.

Étape 9

Pour $n=1$ : $A_1 \equiv 2 \times 8 + 3 \times 5 = 31 \equiv 9 \pmod{11}$.

Étape 10

Pour $n=2$ : $A_2 \equiv 2 \times 9 + 3 \times 3 = 27 \equiv 5 \pmod{11}$.

Étape 11

Pour $n=3$ : $A_3 \equiv 2 \times 6 + 3 \times 4 = 24 \equiv 2 \pmod{11}$.

Étape 12

Pour $n=4$ : $A_4 \equiv 2 \times 4 + 3 \times 9 = 35 \equiv 2 \pmod{11}$.

Étape 13

Pour $n=5$ : $A_5 \equiv 2 \times 10 + 3 \times 1 = 23 \equiv 1 \pmod{11}$.

Étape 14

Pour $n=6$ : $A_6 \equiv 2 \times 3 + 3 \times 5 = 21 \equiv 10 \pmod{11}$.

Étape 15

Pour $n=7$ : $A_7 \equiv 2 \times 2 + 3 \times 3 = 13 \equiv 2 \pmod{11}$.

Étape 16

Pour $n=8$ :

Étape 17

$$A_8 \equiv 2 \times 5 + 3 \times 4 = 22 \equiv 0 \pmod{11}$$

Étape 18

Le nombre $A_8$ est donc divisible par $11$, et pour tout entier $n$ strictement inférieur à $8$, $A_n$ n'est pas divisible par $11$. Le plus petit contre-exemple est donc $n = 8$.