Exercice : Congruences dans ℤ et résolution d'équations modulaires

Étape 1

Pour déterminer le plus petit entier naturel non nul $n$ tel que $3^n \equiv 1 \pmod 5$, étudions les congruences successives des puissances de $3$ modulo $5$.

Étape 2

Pour $n = 1$ : $$3^1 = 3$$ On a $3 = 5 \times 0 + 3$, donc $3^1 \equiv 3 \pmod 5$.

Étape 3

Pour $n = 2$ : $$3^2 = 9$$ On a $9 = 5 \times 1 + 4$, donc $3^2 \equiv 4 \pmod 5$.

Étape 4

Pour $n = 3$, en utilisant la compatibilité de la congruence avec la multiplication : $$3^3 = 3^2 \times 3 \equiv 4 \times 3 \pmod 5$$ Or $12 = 5 \times 2 + 2$, donc $3^3 \equiv 2 \pmod 5$.

Étape 5

Pour $n = 4$ : $$3^4 = 3^3 \times 3 \equiv 2 \times 3 \pmod 5$$ Or $6 = 5 \times 1 + 1$, donc $3^4 \equiv 1 \pmod 5$.

Étape 6

Ainsi, le plus petit entier naturel non nul $n$ vérifiant $3^n \equiv 1 \pmod 5$ est $4$.