Exercice : Congruences dans ℤ et résolution d'équations modulaires

Étape 1

Pour isoler $x$, on cherche un entier $k$ tel que $8k \equiv 1 \pmod{23}$.

Étape 2

On remarque que : $$8 \times 3 = 24$$ Or, $24 = 23 \times 1 + 1$, donc $24 \equiv 1 \pmod{23}$.

Étape 3

En utilisant la compatibilité de la congruence avec la multiplication, on multiplie les deux membres de la relation $8x \equiv 5 \pmod{23}$ par $3$ : $$3 \times (8x) \equiv 3 \times 5 \pmod{23}$$ Ce qui donne : $$24x \equiv 15 \pmod{23}$$

Étape 4

Comme $24 \equiv 1 \pmod{23}$, on a $24x \equiv 1 \times x \equiv x \pmod{23}$. D'où : $$x \equiv 15 \pmod{23}$$

Étape 5

Réciproquement, si $x \equiv 15 \pmod{23}$, alors $8x \equiv 8 \times 15 \pmod{23}$. Or $8 \times 15 = 120 = 23 \times 5 + 5$, donc $120 \equiv 5 \pmod{23}$, ce qui confirme la solution.

Étape 6

L'unique entier $r \in \{0, 1, 2, \dots, 22\}$ est donc $15$.