Étape 1
Traduisons les lettres en leurs valeurs numériques respectives : B vaut $1$, E vaut $4$, X vaut $23$, C vaut $2$, D vaut $3$, V vaut $21$ et Z vaut $25$.
Étape 2
Pour le premier bloc, le vecteur clair est $X_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}$ et le vecteur chiffré est $Y_1 = \begin{pmatrix} 23 \\ 4 \end{pmatrix}$. La première ligne de l'égalité $Y_1 \equiv A X_1 \pmod{26}$ donne :
Étape 3
$$a \times 1 + b \times 4 \equiv 23 \pmod{26}$$
Étape 4
Pour le second bloc, le vecteur clair est $X_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ et le vecteur chiffré est $Y_2 = \begin{pmatrix} 21 \\ 25 \end{pmatrix}$. La première ligne de l'égalité $Y_2 \equiv A X_2 \pmod{26}$ donne :
Étape 5
$$a \times 2 + b \times 3 \equiv 21 \pmod{26}$$
Étape 6
On obtient ainsi le système de deux congruences à deux inconnues suivant :
Étape 7
$$\begin{cases} a + 4b \equiv 23 \pmod{26} \quad (1) \\ 2a + 3b \equiv 21 \pmod{26} \quad (2) \end{cases}$$
Étape 8
Multiplions l'équation (1) par $2$, ce qui donne $2a + 8b \equiv 46 \pmod{26}$. Comme $46 \equiv 20 \pmod{26}$, on a $2a + 8b \equiv 20 \pmod{26}$.
Étape 9
Soustrayons l'équation (2) de cette nouvelle égalité :
Étape 10
$$(2a + 8b) - (2a + 3b) \equiv 20 - 21 \pmod{26}$$
Étape 11
ce qui se simplifie en $5b \equiv -1 \pmod{26}$, soit $5b \equiv 25 \pmod{26}$.
Étape 12
Cherchons l'inverse de $5$ modulo $26$. On remarque que $5 \times 21 = 105 = 4 \times 26 + 1$, donc $5 \times 21 \equiv 1 \pmod{26}$. L'inverse de $5$ modulo $26$ est donc $21$.
Étape 13
En multipliant chaque membre de la congruence $5b \equiv 25 \pmod{26}$ par $21$, on obtient :
Étape 14
$$b \equiv 21 \times 25 \pmod{26}$$
Étape 15
Puisque $25 \equiv -1 \pmod{26}$, il vient $b \equiv 21 \times (-1) \equiv -21 \equiv 5 \pmod{26}$. Le coefficient $b$ vaut donc $5$.
Étape 16
Remplaçons $b$ par $5$ dans l'équation (1) :
Étape 17
$$a + 4 \times 5 \equiv 23 \pmod{26}$$
Étape 18
ce qui équivaut à $a + 20 \equiv 23 \pmod{26}$, d'où $a \equiv 3 \pmod{26}$.
Étape 19
Comme $a$ est un entier compris entre $0$ et $25$, la valeur du coefficient $a$ est $3$.
Méthode clé
Traduire les données en un système de congruences, éliminer une inconnue par combinaison linéaire puis utiliser un inverse modulaire.
Piège à éviter
Oublier de vérifier qu'un coefficient est premier avec 26 avant de multiplier par son inverse modulaire.
