Exercice : Clés de contrôle, cryptographie et codes correcteurs

Étape 1

D'après la définition du code EAN-13, la somme pondérée $S$ des treize chiffres doit être congrue à $0$ modulo $10$.

Étape 2

On calcule la contribution des chiffres de rang impair (multipliés par $1$) : $$S_{\text{impairs}} = 9 + 8 + 0 + 1 + 5 + 3 + 5 = 31$$

Étape 3

On calcule la contribution des chiffres de rang pair (multipliés par $3$) : $$S_{\text{pairs}} = 3 \times (7 + 2 + x + 4 + 2 + 1) = 3 \times (16 + x) = 48 + 3x$$

Étape 4

La somme totale s'écrit donc : $$S = 31 + 48 + 3x = 79 + 3x$$

Étape 5

Le code étant valide, la somme $S$ est divisible par $10$, ce qui se traduit par la congruence : $$79 + 3x \equiv 0 \pmod{10}$$ Or $79 \equiv 9 \pmod{10}$, d'où : $$3x \equiv -9 \pmod{10}$$ ce qui équivaut à : $$3x \equiv 1 \pmod{10}$$

Étape 6

Comme $3 \times 7 = 21$ et que $21 \equiv 1 \pmod{10}$, on multiplie chaque membre par $7$ : $$7 \times 3x \equiv 7 \times 1 \pmod{10}$$ $$21x \equiv 7 \pmod{10}$$ Comme $21 \equiv 1 \pmod{10}$, on obtient : $$x \equiv 7 \pmod{10}$$

Étape 7

Puisque $x$ est un chiffre du système décimal, on a $x \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$. L'unique solution est donc $x = 7$.