Exercice : Clés de contrôle, cryptographie et codes correcteurs

Étape 1

On commence par calculer la somme pondérée $S$ associée aux sept premiers chiffres du code-barres : $c_1 = 4$, $c_2 = 0$, $c_3 = 1$, $c_4 = 2$, $c_5 = 3$, $c_6 = 4$ et $c_7 = 5$.

Étape 2

$$S = 3 \times 4 + 1 \times 0 + 3 \times 1 + 1 \times 2 + 3 \times 3 + 1 \times 4 + 3 \times 5$$

Étape 3

$$S = 12 + 0 + 3 + 2 + 9 + 4 + 15 = 45$$

Étape 4

On recherche la clé $k \in \{0, 1, \dots, 9\}$ telle que $S + k \equiv 0 \pmod{10}$.

Étape 5

On calcule le reste de la division euclidienne de $45$ par $10$ :

Étape 6

$$45 = 4 \times 10 + 5$$

Étape 7

Ainsi, $45 \equiv 5 \pmod{10}$. L'équation devient donc :

Étape 8

$$5 + k \equiv 0 \pmod{10}$$

Étape 9

Le plus petit entier naturel $k$ vérifiant cette congruence est $k = 10 - 5 = 5$.

Étape 10

La clé de contrôle recherchée est donc égale à 5.