Étape 1
Pour déterminer le nombre d'entiers relatifs appartenant à l'ensemble $E$, exprimons d'abord cet ensemble sous la forme d'un intervalle.
Étape 2
L'ensemble $E$ est défini par l'encadrement suivant :$$ -13 < 4x - 5 \le 19 $$
Étape 3
En ajoutant $5$ à chaque membre de la double inégalité, on obtient :$$ -13 + 5 < 4x \le 19 + 5 $$soit :$$ -8 < 4x \le 24 $$
Étape 4
En divisant chaque membre par $4$, qui est un nombre strictement positif, le sens des inégalités est conservé :$$ \frac{-8}{4} < x \le \frac{24}{4} $$soit :$$ -2 < x \le 6 $$
Étape 5
L'ensemble $E$ correspond donc à l'intervalle $]-2 ; 6]$.
Étape 6
Les entiers relatifs appartenant à cet intervalle sont les entiers strictement supérieurs à $-2$ et inférieurs ou égaux à $6$. Il s'agit de :$$ -1 \,;\, 0 \,;\, 1 \,;\, 2 \,;\, 3 \,;\, 4 \,;\, 5 \text{ et } 6 $$
Étape 7
Il y a donc au total 8 entiers relatifs appartenant à cet ensemble.
Méthode clé
Pour dénombrer les entiers d'un ensemble donné par une double inégalité, on isole d'abord la variable $x$ par opérations successives afin d'expliciter l'intervalle, puis on observe l'inclusivité des crochets aux bornes.
Piège à éviter
Confondre l'inégalité stricte ($<$) et l'inégalité large ($\le$) : la borne $-2$ est exclue de l'intervalle, alors que la borne $6$ en fait partie.
