Exercice : Domaine de définition et images/antécédents

Étape 1

Déterminons d'abord les dimensions de la boîte en fonction de $x$ et du paramètre $k$.

Étape 2

La plaque initiale a pour dimensions $k\text{ cm}$ et $24\text{ cm}$. En retirant deux carrés de côté $x\text{ cm}$ sur chaque longueur et chaque largeur, les dimensions de la base rectangulaire sont $(k - 2x)\text{ cm}$ et $(24 - 2x)\text{ cm}$.

Étape 3

L'expression de l'aire de la base est donc $$g(x) = (k - 2x)(24 - 2x)$$

Étape 4

Pour $x = 4\text{ cm}$, les dimensions de la base deviennent $(k - 8)\text{ cm}$ et $16\text{ cm}$. On obtient : $$g(4) = 16(k - 8) = 16k - 128$$

Étape 5

Les quatre faces latérales ont une hauteur de $x\text{ cm}$. Elles sont constituées de deux faces de dimensions $(k - 2x) \times x$ et de deux faces de dimensions $(24 - 2x) \times x$.

Étape 6

L'aire latérale totale s'exprime donc par $$f(x) = 2x(k - 2x) + 2x(24 - 2x) = 2x(k + 24 - 4x)$$

Étape 7

Pour $x = 4\text{ cm}$, on calcule $f(4)$ : $$f(4) = 2 \times 4 \times (k + 24 - 16) = 8(k + 8) = 8k + 64$$

Étape 8

La condition de l'énoncé s'écrit $g(4) = 1{,}5 \times f(4)$, ce qui équivaut à $$16(k - 8) = 1{,}5 \times 8(k + 8)$$

Étape 9

En simplifiant le membre de droite ($1{,}5 \times 8 = 12$), on obtient l'équation $$16(k - 8) = 12(k + 8)$$

Étape 10

En divisant les deux membres par $4$, l'équation devient $$4(k - 8) = 3(k + 8)$$

Étape 11

En développant : $$4k - 32 = 3k + 24$$

Étape 12

Ce qui équivaut à $$4k - 3k = 24 + 32$$ d'où $$k = 56$$

Étape 13

La longueur de la plaque initiale est donc égale à $56\text{ cm}$.