Étape 1
Étape 1 : Domaine de définition de la variable.
Étape 2
La longueur $x$ représente la mesure du côté d'un triangle découpé, donc $x \ge 0$. Comme deux triangles sont retirés sur la longueur totale d'un côté du carré ($10\text{ m}$), on doit avoir $2x \le 10$, soit $x \le 5$.
Étape 3
Le domaine de définition de la variable $x$ est donc l'intervalle $[0 ; 5]$.
Étape 4
Étape 2 : Modélisation de l'aire de la terrasse.
Étape 5
L'aire totale du terrain carré est de : $10 \times 10 = 100\text{ m}^2$.
Étape 6
Chacun des 4 triangles découpés est un triangle rectangle isocèle de côtés de l'angle droit $x$. L'aire d'un seul triangle est : $$\mathcal{A}_{\text{triangle}} = \frac{x \times x}{2} = \frac{x^2}{2}$$
Étape 7
L'aire totale des 4 triangles découpés vaut donc : $$4 \times \frac{x^2}{2} = 2x^2$$
Étape 8
Ainsi, l'aire de la terrasse octogonale en fonction de $x$ est modélisée par la fonction $f$ définie sur $[0 ; 5]$ par : $$f(x) = 100 - 2x^2$$
Étape 9
Étape 3 : Résolution de l'équation.
Étape 10
On cherche la valeur de $x \in [0 ; 5]$ telle que $f(x) = 75{,}5$. Ce problème équivaut à résoudre : $$100 - 2x^2 = 75{,}5$$
Étape 11
En isolant le terme en $x^2$, on obtient : $$2x^2 = 100 - 75{,}5$$ $$2x^2 = 24{,}5$$ $$x^2 = 12{,}25$$
Étape 12
Comme $x$ appartient à l'intervalle $[0 ; 5]$, $x$ est un nombre positif. On calcule la racine carrée : $$x = \sqrt{12{,}25} = 3{,}5$$
Étape 13
La valeur de la longueur $x$ est donc $3{,}5\text{ m}$.
Méthode clé
Exprimer algébriquement la quantité géométrique sous forme d'une fonction $f(x)$, déterminer son domaine de définition, puis résoudre l'équation $f(x) = k$.
Piège à éviter
Oublier de multiplier l'aire d'un triangle par 4 ou négliger le domaine de définition restreignant la valeur de $x$.
