Étape 1
Pour déterminer l'ensemble de définition $\mathcal{D}_f$ de la fonction $f$, il faut déterminer l'ensemble des nombres réels $x$ pour lesquels le calcul de $f(x)$ est possible.
Étape 2
L'expression de $f(x)$ impose deux contraintes algébriques simultanées :
Étape 3
1) Le terme $\sqrt{4x + 24}$ figure au dénominateur de la première fraction. La quantité sous la racine carrée doit donc être strictement positive pour que la racine soit définie et non nulle :$$4x + 24 > 0$$
Étape 4
Résolvons cette inéquation du premier degré :$$4x > -24$$$$x > \frac{-24}{4}$$$$x > -6$$Cette première condition impose donc que $x$ appartienne à l'intervalle $]-6 ; +\infty[$.
Étape 5
2) Le dénominateur de la seconde fraction ne doit pas s'annuler :$$x - 3 \neq 0 \quad \text{soit} \quad x \neq 3$$La valeur $3$ est donc une valeur interdite.
Étape 6
En combinant ces deux conditions, le nombre réel $x$ doit appartenir à l'intervalle $]-6 ; +\infty[$ tout en étant différent de $3$. Comme le nombre $3$ appartient à l'intervalle $]-6 ; +\infty[$, il convient d'exclure cette valeur.
Étape 7
L'ensemble de définition de la fonction $f$ est donc :$$\mathcal{D}_f = ]-6 ; 3[ \cup ]3 ; +\infty[$$
Étape 8
Par identification avec la forme $]a ; b[ \cup ]b ; +\infty[$, nous obtenons $a = -6$ et $b = 3$.
Méthode clé
Pour déterminer le domaine de définition d'une fraction comportant une racine carrée au dénominateur, il faut imposer que la quantité sous la racine soit strictement positive, tout en excluant les valeurs qui annulent les autres dénominateurs.
Piège à éviter
Confondre l'inégalité large (utilisée pour une racine au numérateur) avec l'inégalité stricte obligatoire lorsque la racine est située au dénominateur.
