Exercice : Domaine de définition et images/antécédents

Étape 1

Pour qu'une fonction rationnelle de la forme $f(x) = \dfrac{5}{3x - k}$ soit définie, son dénominateur ne doit pas s'annuler.

Étape 2

On cherche la valeur interdite en résolvant l'équation :

Étape 3

$$3x - k = 0$$

Étape 4

Ce qui équivaut à $3x = k$, soit $x = \dfrac{k}{3}$.

Étape 5

L'ensemble de définition de la fonction $f$ est donc $\mathcal{D}_f = \mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{k}{3}\right\}$.

Étape 6

D'après l'énoncé, l'ensemble de définition est $\mathcal{D}_f = \mathbb{R} \setminus \{2\}$. La valeur interdite est donc égale à $2$.

Étape 7

On en déduit l'équation :

Étape 8

$$\dfrac{k}{3} = 2$$

Étape 9

En multipliant chaque membre par $3$, on obtient $k = 2 \times 3 = 6$.