Exercice : Coordonnées dans le plan

Étape 1

Un quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme si et seulement si ses diagonales $[AC]$ et $[BD]$ se coupent en leur milieu.

Étape 2

Calculons les coordonnées du milieu $I$ de la diagonale $[AC]$ : $$x_I = \frac{x_A + x_C}{2} = \frac{-3 + 7}{2} = 2$$ $$y_I = \frac{y_A + y_C}{2} = \frac{5 + (-1)}{2} = 2$$ Le point $I$ a donc pour coordonnées $I(2\;; 2)$.

Étape 3

Exprimons les coordonnées du milieu du segment $[BD]$ en fonction de $k$ : $$\left(\frac{x_B + x_D}{2}\;; \frac{y_B + y_D}{2}\right) = \left(\frac{k + 9}{2}\;; \frac{-4 + 8}{2}\right) = \left(\frac{k + 9}{2}\;; 2\right)$$

Étape 4

Pour que $ABCD$ soit un parallélogramme, le milieu du segment $[BD]$ doit coïncider avec le point $I(2\;; 2)$.

Étape 5

L'égalité des abscisses conduit à l'équation : $$\frac{k + 9}{2} = 2$$ Ce qui équivaut à $k + 9 = 4$, d'où $k = -5$.