Exercice : Propriétés théoriques et simulations

Étape 1

On calcule le seuil d'écart donné par l'expression $\dfrac{2\sigma}{\sqrt{n}}$ avec $\sigma = 1{,}5$ et $n = 100$ : $$\dfrac{2\sigma}{\sqrt{n}} = \dfrac{2 \times 1{,}5}{\sqrt{100}} = \dfrac{3}{10} = 0{,}3$$

Étape 2

La condition $|m - \mu| \le \dfrac{2\sigma}{\sqrt{n}}$ se réécrit donc $|m - 5| \le 0{,}3$, ce qui équivaut à : $$5 - 0{,}3 \le m \le 5 + 0{,}3 \quad \text{soit} \quad 4{,}7 \le m \le 5{,}3$$

Étape 3

On examine les 10 valeurs de la liste : 4,82 ; 5,15 ; 5,08 ; 4,95 ; 5,02 ; 4,88 ; 5,21 et 4,78 appartiennent à l'intervalle $[4{,}7\ ;\ 5{,}3]$. Seules les valeurs 4,65 et 5,35 n'y appartiennent pas.

Étape 4

Il y a donc 8 moyennes sur 10 qui vérifient la condition. La proportion cherchée est égale à $\dfrac{8}{10} = 0{,}8$.