Exercice : Propriétés algébriques et calculs avec l'exponentielle

Étape 1

Pour tout réel $t$, la dérivée de la fonction $t \mapsto \text{e}^{at}$ est $t \mapsto a\text{e}^{at}$. On en déduit l'expression de la fonction dérivée $f'$ sur $\mathbb{R}$ :

Étape 2

$$f'(t) = 2a\text{e}^{at} - 5$$

Étape 3

La courbe représentative de $f$ admet une tangente horizontale au point d'abscisse $0$, ce qui signifie que :

Étape 4

$$f'(0) = 0$$

Étape 5

En évaluant la dérivée en $t = 0$ avec $\text{e}^0 = 1$, on obtient :

Étape 6

$$2a\text{e}^{0} - 5 = 0$$

Étape 7

d'où $2a - 5 = 0$, soit $2a = 5$, ce qui donne $a = 2{,}5$.