Exercice : Nombre dérivé & Équation de la tangente

Étape 1

La fonction racine carrée $f : x \mapsto \sqrt{x}$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$. Sa fonction dérivée est donnée par : $$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Étape 2

En $a = 1$, on a : $$f(1) = \sqrt{1} = 1$$ et $$f'(1) = \frac{1}{2\sqrt{1}} = 0{,}5$$

Étape 3

Pour tout réel $h$ proche de $0$, l'approximation affine de $f(1+h)$ s'écrit : $$f(1+h) \approx f(1) + f'(1)h$$ soit $$f(1+h) \approx 1 + 0{,}5h$$

Étape 4

En posant $k = 1 + h$, l'approximation affine de $\sqrt{k}$ est égale à $1 + 0{,}5h$. D'après l'énoncé, cette valeur vaut $1{,}045$, ce qui donne l'équation : $$1 + 0{,}5h = 1{,}045$$

Étape 5

On résout cette équation : $$0{,}5h = 0{,}045$$ d'où $$h = \frac{0{,}045}{0{,}5} = 0{,}09$$

Étape 6

On en déduit la valeur de $k$ : $$k = 1 + h = 1 + 0{,}09 = 1{,}09$$