Exercice : Modélisation et approfondissements

Étape 1

On analyse l'évolution du nombre de jetons ajoutés à chaque étape : pour passer de l'étape 1 à l'étape 2, on ajoute $6$ jetons ($u_2 - u_1 = 6$) ; pour passer de l'étape 2 à l'étape 3, on ajoute $12$ jetons ($u_3 - u_2 = 12$).

Étape 2

Chaque nouvelle couronne forme un hexagone dont chaque côté contient un jeton de plus que le précédent. Pour tout entier $k \ge 2$, le nombre de jetons ajoutés pour passer de l'étape $k-1$ à l'étape $k$ est égal à $6(k-1)$.

Étape 3

Pour tout entier $n \ge 2$, le nombre total de jetons à l'étape $n$ est la somme du jeton central et des jetons ajoutés à chaque couronne successive : $$u_n = u_1 + 6 \times 1 + 6 \times 2 + \dots + 6(n-1) = 1 + 6 \sum_{k=1}^{n-1} k$$

Étape 4

D'après la formule de la somme des premiers entiers consécutifs, on a : $$\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}$$ ce qui donne pour tout $n \ge 1$ : $$u_n = 1 + 6 \times \frac{n(n-1)}{2} = 1 + 3n(n-1)$$

Étape 5

Pour l'étape $n = 15$, on effectue le calcul : $$u_{15} = 1 + 3 \times 15 \times 14 = 1 + 3 \times 210 = 1 + 630 = 631$$ Le motif à l'étape 15 comporte donc 631 jetons.