Résoudre une équation du second degré et déterminer son signe avec le discriminant
Le discriminant $\Delta$ est l'outil central pour étudier n'importe quelle fonction polynôme du second degré. Il permet de trouver immédiatement ses racines réelles et de connaître son signe sur $\mathbb{R}$.
Résumé flash
Pour $ax^2 + bx + c$, on calcule $\Delta = b^2 - 4ac$. Si $\Delta > 0$, il y a deux racines $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$, et le trinôme est toujours du signe de $a$ à l'extérieur des racines.
Le principe fondamental
Soit le trinôme $P(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$. Son discriminant est défini par : $$\Delta = b^2 - 4ac$$
- Si $\Delta < 0$ : l'équation $P(x) = 0$ n'a aucune solution réelle. Le trinôme $P(x)$ est strictement du signe de $a$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.
- Si $\Delta = 0$ : l'équation $P(x) = 0$ a une unique solution réelle (racine double) : $$x_0 = -\frac{b}{2a}$$ Le trinôme s'annule en $x_0$ et est du signe de $a$ pour tout $x \neq x_0$.
- Si $\Delta > 0$ : l'équation $P(x) = 0$ a deux solutions réelles distinctes : $$x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \quad \text{et} \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$$ Le trinôme est du signe de $a$ à l'extérieur des racines et du signe opposé à $a$ entre les racines.
Conditions d'application
- L'expression doit être mise sous la forme développée et ordonnée $ax^2 + bx + c$.
- Le coefficient dominant $a$ doit être différent de 0 (sinon, il s'agit d'une équation du premier degré).
- Pour une équation, le second membre doit être ramené à 0 ($ax^2 + bx + c = 0$).
Méthode 1
Résoudre une équation du second degré ax^2 + bx + c = 0
Quand utiliser cette méthode ?
- Résoudre dans R l'équation
- Déterminer les racines du polynôme
- Trouver les points d'intersection de la parabole avec l'axe des abscisses
1
Identifier les coefficients réels
Mettre l'équation sous la forme standard $ax^2 + bx + c = 0$ et repérer précisément les valeurs de $a$, $b$ et $c$ avec leurs signes respectifs.
Attention : si un terme n'apparaît pas, son coefficient vaut 0 (par exemple, dans $3x^2 - 5 = 0$, on a $b = 0$).
2
Calculer le discriminant
Poser la formule : $$\Delta = b^2 - 4ac$$ Remplacer les lettres par leurs valeurs entre parenthèses et calculer le résultat.
Veille à bien respecter les priorités opératoires : effectue le carré d'abord, puis la multiplication $4 \times a \times c$.
3
Conclure selon le signe de Delta
- Si $\Delta < 0$ : conclure directement que l'équation n'a aucune solution réelle ($\mathcal{S} = \emptyset$).
- Si $\Delta = 0$ : calculer l'unique solution $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
- Si $\Delta > 0$ : calculer $\sqrt{\Delta}$, puis les deux solutions distinctes : $$x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \quad \text{et} \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$$
Donne toujours les résultats sous forme de fractions irréductibles ou de valeurs exactes simplifiées.
Exemple : équation avec discriminant positif
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $$2x^2 - 5x + 2 = 0$$
L'équation $2x^2 - 5x + 2 = 0$ est de la forme $ax^2 + bx + c = 0$ avec : $$a = 2, \quad b = -5, \quad c = 2$$ Calculons le discriminant $\Delta$ : $$\Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \times 2 \times 2 = 25 - 16 = 9$$ Comme $\Delta > 0$, l'équation admet deux solutions réelles distinctes : $$x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-5) - \sqrt{9}}{2 \times 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$ $$x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2 \times 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$$ L'ensemble des solutions de l'équation est donc : $$\mathcal{S} = \left\{\frac{1}{2} ; 2\right\}$$
Méthode 2
Déterminer le signe d'un trinôme et dresser son tableau de signes
Quand utiliser cette méthode ?
- Étudier le signe de P(x)
- Dresser le tableau de signes de
- Résoudre l'inéquation ax^2 + bx + c >= 0 (ou <= 0)
1
Chercher les racines du trinôme
Résoudre l'équation $ax^2 + bx + c = 0$ à l'aide du discriminant $\Delta$. S'il n'y a pas de racine réelle, le polynôme ne s'annule jamais.
Si des racines existent, classe-les impérativement par ordre croissant avant de construire le tableau.
2
Déterminer le signe du coefficient a
Regarder attentivement le signe de $a$ (strictement positif ou strictement négatif).
Le signe de $a$ commande l'orientation de la parabole et la disposition des signes dans le tableau.
3
Compléter le tableau de signes
Appliquer la règle fondamentale :
- Si $\Delta > 0$ : le trinôme est du signe de $a$ à l'extérieur des racines, s'annule en $x_1$ et $x_2$, et prend le signe opposé à $a$ entre les racines.
- Si $\Delta = 0$ : le trinôme est du signe de $a$ partout sauf en $x_0$ où il s'annule.
- Si $\Delta < 0$ : le trinôme ne s'annule jamais et reste strictement du signe de $a$ sur tout $\mathbb{R}$.
Retiens la formule mnémotechnique : 'signe de $a$ à l'extérieur des zéros'.
Exemple : Signe d'un trinôme avec deux racines et a négatif
Étudier le signe du trinôme $P(x) = -x^2 + 2x + 3$ sur $\mathbb{R}$.
Pour déterminer le signe de $P(x) = -x^2 + 2x + 3$, cherchons d'abord ses racines en résolvant $-x^2 + 2x + 3 = 0$.
Les coefficients sont $a = -1$, $b = 2$ et $c = 3$.
Calculons le discriminant : $$\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \times (-1) \times 3 = 4 + 12 = 16$$
Comme $\Delta > 0$, le trinôme admet deux racines réelles distinctes : $$x_1 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 \times (-1)} = \frac{-2 - 4}{-2} = \frac{-6}{-2} = 3$$ $$x_2 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \times (-1)} = \frac{-2 + 4}{-2} = \frac{2}{-2} = -1$$
Les racines ordonnées sont donc $-1$ et $3$.
Le coefficient dominant est $a = -1$, d'où $a < 0$.
D'après le cours, le trinôme est du signe de $a$ (négatif) à l'extérieur des racines et du signe opposé à $a$ (positif) entre les racines.
$$\begin{array}{|c|ccccc|}
\hline
x & -\infty & & -1 & & 3 & & +\infty \\
\hline
P(x) & & - & 0 & + & 0 & - \\
\hline
\end{array}$$
On dresse le bilan des signes :
- Pour $x \in ]-\infty ; -1[$, $P(x) < 0$
- Pour $x = -1$, $P(x) = 0$
- Pour $x \in ]-1 ; 3[$, $P(x) > 0$
- Pour $x = 3$, $P(x) = 0$
- Pour $x \in ]3 ; +\infty[$, $P(x) < 0$
Points de vigilance
Piège à éviter
Oublier les parenthèses lors du calcul de $b^2$ quand $b$ est un nombre négatif (par exemple écrire $-5^2 = -25$ au lieu de $(-5)^2 = 25$).
Bon réflexe
Toujours écrire des parenthèses systématiques autour de $b$ lors du calcul : $(-5)^2 = 25$. Un carré est toujours positif ou nul.
Piège à éviter
Oublier le facteur $a$ au dénominateur des racines en écrivant $\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2}$ au lieu de $\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$.
Bon réflexe
Écrire la formule littérale complète sur sa copie avant d'injecter les valeurs numériques.
Piège à éviter
Inverser la position des signes dans le tableau (mettre le signe de $a$ entre les racines au lieu de l'extérieur).
Bon réflexe
Visualiser la parabole : si $a > 0$, les branches montent vers le haut, donc la fonction est positive 'aux extrémités' (à l'extérieur des racines).