Comment trouver la forme canonique d'un polynôme du second degré ?
La forme canonique permet de déterminer directement les coordonnées du sommet d'une parabole et facilite l'étude des variations. Elle s'obtient de manière rigoureuse grâce à la technique algébrique de complétion du carré.
Résumé flash
Pour obtenir la forme canonique : factoriser a sur les termes en x, remplacer x^2 + 2kx par (x + k)^2 - k^2 dans des crochets, puis distribuer a et réduire la constante finale.
Le principe fondamental
Toute fonction polynôme du second degré $f(x) = ax^2 + bx + c$ (avec $a \neq 0$) admet une écriture unique appelée forme canonique :
$$f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$$où le point $S(\alpha\,;\,\beta)$ est le sommet de la parabole représentant $f$.
Cette mise sous forme canonique repose sur l'égalité fondamentale de complétion du carré :$$x^2 + 2kx = (x + k)^2 - k^2$$
$$f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$$où le point $S(\alpha\,;\,\beta)$ est le sommet de la parabole représentant $f$.
Cette mise sous forme canonique repose sur l'égalité fondamentale de complétion du carré :$$x^2 + 2kx = (x + k)^2 - k^2$$
Conditions d'application
- La fonction doit être un polynôme de degré 2 (le coefficient a devant x^2 est non nul).
- L'expression doit être initialement développée et ordonnée sous la forme ax^2 + bx + c.
Méthode 1
Polynôme unitaire (a = 1)
Quand utiliser cette méthode ?
- Le coefficient de x^2 est égal à 1
- Expression de la forme x^2 + bx + c
1
Identifier le début d'un carré parfait
On repère les termes en $x$ : $x^2 + bx$. On cherche le nombre $k$ tel que $2k = b$, c'est-à-dire $k = \frac{b}{2}$.
Faire attention au signe de b : si on a un signe 'moins', k sera négatif.
2
Remplacer par la complétion du carré
On remplace le bloc $x^2 + bx$ par son équivalent : $$(x + k)^2 - k^2$$
Le terme soustrait k^2 est toujours précédé d'un signe 'moins'.
3
Réduire avec la constante restante
On regroupe les deux constantes numériques $-k^2$ et $c$ pour obtenir la forme définitive $(x - \alpha)^2 + \beta$.
Le sommet de la parabole a pour coordonnées ($\alpha\,;\,\beta$) où $\alpha = -k$.
Exemple avec a = 1
Déterminer la forme canonique du polynôme $P(x) = x^2 - 6x + 4$.
On considère l'expression $P(x) = x^2 - 6x + 4$.
1. On isole les termes en $x$ : $x^2 - 6x$.
C'est le début du développement de $(x - 3)^2$ car le double produit est $-2 \times 3 \times x = -6x$.
2. On applique l'identité de complétion du carré :
$$x^2 - 6x = (x - 3)^2 - 3^2 = (x - 3)^2 - 9$$
3. On remplace cette expression dans $P(x)$ et on réduit la constante :
$$P(x) = (x - 3)^2 - 9 + 4$$
$$P(x) = (x - 3)^2 - 5$$
La forme canonique de $P$ est donc $P(x) = (x - 3)^2 - 5$. Le sommet de la parabole est le point $S(3\,;\,-5)$.
Méthode 2
Coefficient dominant quelconque (a ≠ 1)
Quand utiliser cette méthode ?
- Le coefficient de x^2 est différent de 1
- Présence d'un facteur devant x^2 (par exemple 2x^2, -x^2, 3x^2)
1
Factoriser a sur les termes en x
On met $a$ en facteur uniquement devant les termes $ax^2 + bx$ en ouvrant de grands crochets : $$f(x) = a\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c$$
Laisser la constante c en dehors de la factorisation. Si a est négatif, veiller à changer tous les signes dans la parenthèse (ex : -x^2 + 6x = -(x^2 - 6x)).
2
Compléter le carré à l'intérieur des crochets
On transforme l'expression entre parenthèses sous la forme $(x + k)^2 - k^2$, où $k$ est la moitié du coefficient de $x$ présent dans la parenthèse : $$f(x) = a\left[(x + k)^2 - k^2\right] + c$$
Conserver impérativement les crochets pour ne pas fausser la distribution.
3
Distribuer a et réduire la constante
On distribue $a$ au carré $(x + k)^2$ ainsi qu'au terme $-k^2$, puis on calcule la constante finale : $$f(x) = a(x + k)^2 - a \times k^2 + c$$
Vérifier le signe de -a * k^2 avant de réduire. Auto-contrôle : calculer mentalement α = -b/(2a) pour valider l'abscisse du sommet.
Exemple avec a ≠ 1
Déterminer la forme canonique de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 2x^2 + 8x - 1$.
On considère $f(x) = 2x^2 + 8x - 1$.
1. On factorise le coefficient $a = 2$ sur les deux premiers termes :
$$f(x) = 2(x^2 + 4x) - 1$$
2. On applique la complétion du carré à l'intérieur de la parenthèse :
$x^2 + 4x$ est le début de $(x + 2)^2$ avec $2^2 = 4$. On a donc :
$$x^2 + 4x = (x + 2)^2 - 4$$
En réinjectant dans $f(x)$ avec des crochets :
$$f(x) = 2\left[(x + 2)^2 - 4\right] - 1$$
3. On distribue le facteur 2 à l'intérieur du crochet puis on réduit :
$$f(x) = 2(x + 2)^2 - 2 \times 4 - 1$$
$$f(x) = 2(x + 2)^2 - 8 - 1$$
$$f(x) = 2(x + 2)^2 - 9$$
La forme canonique de $f$ est donc $f(x) = 2(x + 2)^2 - 9$. Le sommet de la parabole est le point $S(-2\,;\,-9)$.
Points de vigilance
Piège à éviter
Oublier de retrancher le terme k^2 lors de la complétion du carré (écrire par exemple x^2 - 6x = (x - 3)^2 au lieu de (x - 3)^2 - 9).
Bon réflexe
Développer mentalement l'identité remarquable pour vérifier : (x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9, il faut donc impérativement soustraire 9 pour retrouver l'égalité.
Piège à éviter
Lorsque a est différent de 1, oublier de distribuer a sur la constante retranchée à l'intérieur des crochets.
Bon réflexe
Utiliser systématiquement des crochets : a[(x + k)^2 - k^2] + c, puis distribuer a sur chaque terme présent dans le crochet avant de réduire.
Piège à éviter
Se tromper dans le signe de l'abscisse du sommet α lors de la lecture de a(x - α)^2 + β.
Bon réflexe
Attention à l'inversement de signe dans la parenthèse : la forme est a(x - α)^2 + β. Ainsi, (x + 2)^2 correspond à α = -2, tandis que (x - 3)^2 correspond à α = 3.