Comment factoriser un polynôme du second degré en diversifiant les stratégies ?
La factorisation d'une fonction polynôme du second degré est l'outil indispensable pour étudier son signe ou résoudre une équation produit nul. Selon l'expression, choisir la méthode la plus rapide permet d'éviter les erreurs de calcul et d'optimiser son temps.
Résumé flash
Pour factoriser $ax^2+bx+c$ : vérifier d'abord les raccourcis (facteur commun $x$ si $c=0$, identité remarquable si $b=0$, racine évidente). Sinon, calculer $\Delta$ : si $\Delta > 0$, $P(x) = a(x-x_1)(x-x_2)$ ; si $\Delta = 0$, $P(x) = a(x-x_0)^2$ ; si $\Delta < 0$, impossible dans $\mathbb{R}$.
Le principe fondamental
Soit $P(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$ et son discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ :
- Si $\Delta > 0$, $P$ admet deux racines réelles distinctes $x_1$ et $x_2$ et se factorise sous la forme :
$$P(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$$ - Si $\Delta = 0$, $P$ admet une racine double $x_0 = -\frac{b}{2a}$ et se factorise sous la forme :
$$P(x) = a(x - x_0)^2$$ - Si $\Delta < 0$, $P$ n'admet aucune racine réelle et n'est pas factorisable dans $\mathbb{R}$.
Conditions d'application
- L'expression doit être un polynôme du second degré ($a \neq 0$).
- Le discriminant $\Delta$ doit être positif ou nul pour que le polynôme soit factorisable dans $\mathbb{R}$.
Méthode 1
Les raccourcis algébriques directs (sans discriminant)
Quand utiliser cette méthode ?
- Le terme constant est nul ($c = 0$)
- Le coefficient de $x$ est nul ($b = 0$)
- L'expression présente les coefficients d'une identité remarquable collège
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Détecter le terme manquant
Observer attentivement la forme du polynôme :
- Si $c = 0$, l'expression est de la forme $ax^2 + bx$ : $x$ est un facteur commun.
- Si $b = 0$, l'expression est de la forme $ax^2 + c$ : si $a$ et $c$ sont de signes opposés, utiliser l'identité remarquable $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
- Si $c = 0$, l'expression est de la forme $ax^2 + bx$ : $x$ est un facteur commun.
- Si $b = 0$, l'expression est de la forme $ax^2 + c$ : si $a$ et $c$ sont de signes opposés, utiliser l'identité remarquable $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
Ne jamais utiliser le discriminant $\Delta$ dans ces cas-là : la factorisation directe prend 5 secondes et évite tout risque d'erreur.
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Factoriser directement
Mettre en facteur le plus grand monôme commun ou appliquer la formule de l'identité remarquable pour obtenir le produit de facteurs.
Penser à sortir également les diviseurs communs des coefficients numériques.
Exemple : Cas d'un terme constant nul
Factoriser dans $\mathbb{R}$ le polynôme $P(x) = 3x^2 - 12x$.
Le terme constant est nul ($c = 0$). On observe que $3x$ est un facteur commun aux deux termes :
$$P(x) = 3x \times x - 3x \times 4$$
On factorise par $3x$ :
$$P(x) = 3x(x - 4)$$
Le polynôme est factorisé.
$$P(x) = 3x \times x - 3x \times 4$$
On factorise par $3x$ :
$$P(x) = 3x(x - 4)$$
Le polynôme est factorisé.
Méthode 2
Détection d'une racine évidente et calcul mental (somme et produit)
Quand utiliser cette méthode ?
- La somme des coefficients est nulle ($a + b + c = 0$)
- La somme alternée est nulle ($a - b + c = 0$)
- Une valeur simple parmi $\{-2, -1, 1, 2\}$ annule manifestement le trinôme
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Tester une racine évidente
Calculer l'image pour des valeurs simples :
- Si $P(1) = 0$ (c'est-à-dire si $a + b + c = 0$), alors $x_1 = 1$ est racine.
- Si $P(-1) = 0$ (c'est-à-dire si $a - b + c = 0$), alors $x_1 = -1$ est racine.
- Sinon, tester rapidement $2$ ou $-2$.
- Si $P(1) = 0$ (c'est-à-dire si $a + b + c = 0$), alors $x_1 = 1$ est racine.
- Si $P(-1) = 0$ (c'est-à-dire si $a - b + c = 0$), alors $x_1 = -1$ est racine.
- Sinon, tester rapidement $2$ ou $-2$.
Vérifier la somme des coefficients $a+b+c$ doit devenir un réflexe visuel automatique.
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Déterminer la seconde racine par le produit
On sait que le produit des racines vérifie :
$$x_1 \times x_2 = \frac{c}{a}$$
Connaissant $x_1$, on déduit directement la valeur de $x_2$ sans poser de division :
$$x_2 = \frac{c}{a \times x_1}$$
$$x_1 \times x_2 = \frac{c}{a}$$
Connaissant $x_1$, on déduit directement la valeur de $x_2$ sans poser de division :
$$x_2 = \frac{c}{a \times x_1}$$
On peut également utiliser la somme des racines $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ pour valider la cohérence du résultat.
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Conclure avec la forme factorisée
Écrire la forme factorisée en remettant impérativement le coefficient $a$ en facteur :
$$P(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$$
$$P(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$$
Si $x_2$ est une fraction dont le dénominateur divise $a$, on peut développer $a$ dans la parenthèse pour obtenir des coefficients entiers.
Exemple : Cas d'une racine évidente égale à 1
Factoriser le polynôme $P(x) = 2x^2 - 5x + 3$.
On identifie les coefficients : $a = 2$, $b = -5$, $c = 3$.
On remarque que :
$$a + b + c = 2 + (-5) + 3 = 0$$
Donc $x_1 = 1$ est une racine évidente de $P$.
Le produit des deux racines vaut :
$$x_1 \times x_2 = \frac{c}{a} = \frac{3}{2}$$
Comme $x_1 = 1$, on en déduit que :
$$x_2 = \frac{3}{2}$$
On applique la formule de factorisation avec $a = 2$ :
$$P(x) = 2(x - 1)\left(x - \frac{3}{2}\right)$$
En distribuant le facteur $2$ dans la deuxième parenthèse, on obtient :
$$P(x) = (x - 1)(2x - 3)$$.
On remarque que :
$$a + b + c = 2 + (-5) + 3 = 0$$
Donc $x_1 = 1$ est une racine évidente de $P$.
Le produit des deux racines vaut :
$$x_1 \times x_2 = \frac{c}{a} = \frac{3}{2}$$
Comme $x_1 = 1$, on en déduit que :
$$x_2 = \frac{3}{2}$$
On applique la formule de factorisation avec $a = 2$ :
$$P(x) = 2(x - 1)\left(x - \frac{3}{2}\right)$$
En distribuant le facteur $2$ dans la deuxième parenthèse, on obtient :
$$P(x) = (x - 1)(2x - 3)$$.
Méthode 3
La méthode générale avec le discriminant
Quand utiliser cette méthode ?
- Le trinôme est complet ($a \neq 0$, $b \neq 0$, $c \neq 0$)
- Aucune racine évidente simple dans $\{-2, -1, 1, 2\}$
- Consigne explicite de calculer le discriminant $\Delta$
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Poser les coefficients et calculer le discriminant
Identifier précisément $a$, $b$ et $c$ avec leurs signes, puis calculer :
$$\Delta = b^2 - 4ac$$
$$\Delta = b^2 - 4ac$$
Attention aux parenthèses lors du calcul de $b^2$ si $b$ est négatif : $(-5)^2 = 25$ et non $-25$.
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Déterminer les racines selon le signe de Delta
- Si $\Delta < 0$ : le trinôme n'admet aucune racine réelle, il n'est donc pas factorisable dans $\mathbb{R}$.
- Si $\Delta = 0$ : le trinôme admet une racine double $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
- Si $\Delta > 0$ : le trinôme admet deux racines réelles distinctes :
$$x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \quad \text{et} \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$$
- Si $\Delta = 0$ : le trinôme admet une racine double $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
- Si $\Delta > 0$ : le trinôme admet deux racines réelles distinctes :
$$x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \quad \text{et} \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$$
Simplifier au maximum les fractions obtenues avant de passer à l'étape suivante.
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Écrire la forme factorisée
Appliquer la formule du cours :
- Si $\Delta > 0$ : $P(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$.
- Si $\Delta = 0$ : $P(x) = a(x - x_0)^2$.
- Si $\Delta > 0$ : $P(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$.
- Si $\Delta = 0$ : $P(x) = a(x - x_0)^2$.
Veiller à ne pas oublier le coefficient $a$ devant le produit.
Exemple : Cas général d'un discriminant strictement positif
Factoriser dans $\mathbb{R}$ le polynôme $P(x) = 2x^2 + 5x - 3$.
On a $P(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a = 2$, $b = 5$ et $c = -3$.
Calculons le discriminant $\Delta$ :
$$\Delta = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \times 2 \times (-3) = 25 + 24 = 49$$
Comme $\Delta > 0$, le polynôme admet deux racines réelles distinctes avec $\sqrt{\Delta} = \sqrt{49} = 7$ :
$$x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-5 - 7}{2 \times 2} = \frac{-12}{4} = -3$$
$$x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-5 + 7}{2 \times 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$
On applique la formule $P(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$ :
$$P(x) = 2(x - (-3))\left(x - \frac{1}{2}\right)$$
$$P(x) = 2(x + 3)\left(x - \frac{1}{2}\right)$$
On peut également développer le facteur $2$ dans la seconde parenthèse :
$$P(x) = (x + 3)(2x - 1)$$.
Calculons le discriminant $\Delta$ :
$$\Delta = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \times 2 \times (-3) = 25 + 24 = 49$$
Comme $\Delta > 0$, le polynôme admet deux racines réelles distinctes avec $\sqrt{\Delta} = \sqrt{49} = 7$ :
$$x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-5 - 7}{2 \times 2} = \frac{-12}{4} = -3$$
$$x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-5 + 7}{2 \times 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$
On applique la formule $P(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$ :
$$P(x) = 2(x - (-3))\left(x - \frac{1}{2}\right)$$
$$P(x) = 2(x + 3)\left(x - \frac{1}{2}\right)$$
On peut également développer le facteur $2$ dans la seconde parenthèse :
$$P(x) = (x + 3)(2x - 1)$$.
Points de vigilance
Piège à éviter
Oublier le coefficient $a$ devant les facteurs et écrire $(x - x_1)(x - x_2)$ au lieu de $a(x - x_1)(x - x_2)$.
Bon réflexe
Identifier et écrire $a$ dès le début de la rédaction, puis le recopier immédiatement en tête de la forme factorisée.
Piège à éviter
Faire une erreur de signe lorsqu'une racine est négative, par exemple écrire $(x - 3)$ quand la racine vaut $-3$.
Bon réflexe
Écrire systématiquement l'étape intermédiaire $(x - (-3))$ avant de simplifier en $(x + 3)$.