Exercice : Loi de probabilité, espérance et variance

Étape 1

Notons $G$ la variable aléatoire représentant le gain brut du joueur (la somme reçue, sans déduire la mise).

Étape 2

Le dé étant équilibré, chaque face a une probabilité de $\frac{1}{6}$ d'apparaître.

Étape 3

Déterminons la loi de probabilité de $G$ :
Le joueur obtient la face 6 avec une probabilité de $\frac{1}{6}$, donc $P(G = 15) = \frac{1}{6}$.
Le joueur obtient la face 4 ou 5 avec une probabilité de $\frac{2}{6}$, donc $P(G = 6) = \frac{2}{6}$.
Le joueur obtient la face 1, 2 ou 3 avec une probabilité de $\frac{3}{6}$, donc $P(G = 0) = \frac{3}{6}$.

Étape 4

Calculons l'espérance de $G$ :$$E(G) = 15 \times \frac{1}{6} + 6 \times \frac{2}{6} + 0 \times \frac{3}{6}$$$$E(G) = \frac{15 + 12 + 0}{6} = \frac{27}{6} = 4{,}5$$

Étape 5

Le gain algébrique du joueur est $X = G - m$. Par linéarité de l'espérance, on a :$$E(X) = E(G) - m = 4{,}5 - m$$

Étape 6

Le jeu est équitable lorsque $E(X) = 0$, ce qui équivaut à :$$4{,}5 - m = 0$$d'où :$$m = 4{,}5$$La mise doit être de 4,5 € pour que le jeu soit équitable.