Exercice : Formule des probabilités totales

Étape 1

Les événements $A$, $B$ et $C$ sont deux à deux disjoints et leur réunion forme l'univers $\Omega$ des composants produits. Ils constituent donc une partition de l'univers $\Omega$.

Étape 2

On traduit les proportions données par l'énoncé. La part de l'atelier $A$ est $P(A) = 0{,}40$. La somme des probabilités des événements d'une partition vaut 1, d'où : $$P(B) + P(C) = 1 - P(A) = 1 - 0{,}40 = 0{,}60$$

Étape 3

L'atelier $B$ fabriquant deux fois plus de composants que l'atelier $C$, on a $P(B) = 2P(C)$. On obtient l'égalité : $$2P(C) + P(C) = 0{,}60$$ Soit $3P(C) = 0{,}60$, ce qui donne $P(C) = 0{,}20$, puis $P(B) = 2 \times 0{,}20 = 0{,}40$.

Étape 4

Puisque les événements $A$, $B$ et $C$ forment une partition de l'univers $\Omega$ et ont des probabilités non nulles, on applique la formule des probabilités totales pour déterminer $P(D)$ : $$P(D) = P(A \cap D) + P(B \cap D) + P(C \cap D)$$ Soit, en utilisant les probabilités conditionnelles : $$P(D) = P(A) \times P_A(D) + P(B) \times P_B(D) + P(C) \times P_C(D)$$

Étape 5

En remplaçant par les valeurs numériques : $$P(D) = 0{,}40 \times 0{,}02 + 0{,}40 \times 0{,}03 + 0{,}20 \times 0{,}05$$ $$P(D) = 0{,}008 + 0{,}012 + 0{,}010 = 0{,}03$$

Étape 6

La probabilité qu'un composant prélevé au hasard soit défectueux est donc égale à $0{,}03$.