Étape 1
La fonction $f$ est une fonction polynôme, donc elle est dérivable sur $\mathbb{R}$.
Étape 2
Pour tout réel $x$, on calcule sa dérivée : $$f'(x) = -3 \times 2x + 4 = -6x + 4$$
Étape 3
On détermine le signe de la dérivée : $$-6x + 4 = 0 \text{ équivaut à } x = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$ Comme le coefficient directeur $-6$ est strictement négatif, on a $f'(x) > 0$ lorsque $x < \frac{2}{3}$ et $f'(x) < 0$ lorsque $x > \frac{2}{3}$.
Étape 4
La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $\left]-\infty ; \frac{2}{3}\right]$ puis strictement décroissante sur $\left[\frac{2}{3} ; +\infty\right[$. Elle admet par conséquent un maximum absolu sur $\mathbb{R}$ atteint en $x = \frac{2}{3}$.
Étape 5
On calcule la valeur de ce maximum : $$f\left(\frac{2}{3}\right) = -3 \left(\frac{2}{3}\right)^2 + 4 \left(\frac{2}{3}\right) + 2$$ $$f\left(\frac{2}{3}\right) = -3 \times \frac{4}{9} + \frac{8}{3} + 2 = -\frac{4}{3} + \frac{8}{3} + \frac{6}{3} = \frac{10}{3}$$
Étape 6
La valeur maximale prise par la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ est donc $\frac{10}{3}$.
Méthode clé
Pour trouver le maximum d'une fonction dérivable, on calcule sa fonction dérivée, on étudie son signe pour dresser le tableau de variations, puis on calcule l'image de la valeur annulant la dérivée.
Piège à éviter
Confondre l'abscisse où le maximum est atteint (la valeur de $x$) avec la valeur du maximum lui-même (l'image $f(x)$).
