Exercice : Applications de l'étude de variations

Étape 1

La fonction $f$ est une fonction polynôme, donc elle est dérivable sur $\mathbb{R}$.

Étape 2

Pour tout nombre réel $x$, on calcule sa dérivée : $$f'(x) = 2kx - 12$$

Étape 3

Puisque $f$ admet un extremum en $x = 2$, la dérivée s'annule en ce point, c'est-à-dire que $f'(2) = 0$.

Étape 4

On remplace $x$ par 2 dans l'expression de la dérivée : $$2k \times 2 - 12 = 0$$ ce qui donne : $$4k - 12 = 0$$

Étape 5

On résout l'équation : $$4k = 12$$ d'où : $$k = \frac{12}{4} = 3$$ Comme $k = 3 > 0$, la parabole est orientée vers le haut et $f$ admet bien un minimum en $x = 2$.