Exercice : Symétrie centrale, demi-tour et invariants dans les motifs

Étape 1

Par le demi-tour de centre $O$ (symétrie centrale), le point $K'$ est le symétrique de $K$, $L'$ est le symétrique de $L$ et $M'$ est le symétrique de $M$. L'angle $\widehat{K'L'M'}$ est donc le symétrique de l'angle $\widehat{KLM}$.

Étape 2

La symétrie centrale conserve la mesure des angles, d'où :

Étape 3

$$\widehat{KLM} = \widehat{K'L'M'} = 73^\circ$$

Étape 4

Dans le triangle $KLM$, la somme des mesures des trois angles est égale à $180^\circ$ :

Étape 5

$$\widehat{LKM} + \widehat{KLM} + \widehat{LMK} = 180^\circ$$

Étape 6

On remplace par les valeurs connues :

Étape 7

$$42^\circ + 73^\circ + \widehat{LMK} = 180^\circ$$

Étape 8

$$115^\circ + \widehat{LMK} = 180^\circ$$

Étape 9

On en déduit :

Étape 10

$$\widehat{LMK} = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ$$