Étape 1
Étape 1 : Calcul de l'aire réelle du terrain.
Étape 2
Convertissons d'abord la masse de gazon en grammes : $36\text{ kg} = 36\,000\text{ g}$.
Étape 3
Sachant qu'il faut $30\text{ g}$ pour recouvrir $1\text{ m}^2$, l'aire réelle $A_{\text{réelle}}$ du terrain est :
Étape 4
$$A_{\text{réelle}} = \frac{36\,000}{30} = 1200\text{ m}^2$$
Étape 5
Étape 2 : Calcul de la base réelle du terrain.
Étape 6
L'échelle $1 / 500$ signifie que $1\text{ cm}$ sur le plan représente $500\text{ cm}$ (soit $5\text{ m}$) dans la réalité.
Étape 7
La base sur le plan mesure $8\text{ cm}$, donc sa longueur réelle $b_{\text{réelle}}$ est :
Étape 8
$$b_{\text{réelle}} = 8 \times 500 = 4000\text{ cm} = 40\text{ m}$$
Étape 9
Étape 3 : Calcul de la hauteur réelle du terrain.
Étape 10
L'aire d'un parallélogramme est égale au produit de sa base par sa hauteur relative. On a donc :
Étape 11
$$\text{Aire} = \text{base} \times \text{hauteur}$$
Étape 12
D'où la hauteur réelle $h_{\text{réelle}}$ :
Étape 13
$$h_{\text{réelle}} = \frac{A_{\text{réelle}}}{b_{\text{réelle}}} = \frac{1200}{40} = 30\text{ m}$$
Étape 14
Étape 4 : Conversion de la hauteur sur le plan.
Étape 15
Convertissons la hauteur réelle en centimètres : $30\text{ m} = 3000\text{ cm}$.
Étape 16
Sur le plan à l'échelle $1 / 500$, la hauteur $h_{\text{plan}}$ mesure :
Étape 17
$$h_{\text{plan}} = \frac{3000}{500} = 6\text{ cm}$$
Méthode clé
Pour retrouver une dimension sur un plan : remonter d'abord aux grandeurs réelles (aire et base) à l'aide des données du problème, puis isoler la hauteur réelle avant de repasser à l'échelle.
Piège à éviter
Oublier de convertir les kilogrammes en grammes avant de calculer l'aire, ou tenter d'appliquer directement l'échelle de longueur sur l'aire.
