Exercice : Angles alternes-internes et correspondants

Étape 1

Les points $X$, $A$ et $B$ sont alignés dans cet ordre sur la droite $(d_1)$. Les angles $\widehat{XAD}$ et $\widehat{DAB}$ sont donc supplémentaires : $$\widehat{DAB} = 180^\circ - 142^\circ = 38^\circ$$ Comme le point $P$ appartient au segment $[AD]$, l'angle $\widehat{PAB}$ mesure $38^\circ$.

Étape 2

De même, les points $Y$, $C$ et $D$ sont alignés sur la droite $(d_2)$. Les angles $\widehat{YCB}$ et $\widehat{BCD}$ sont supplémentaires : $$\widehat{BCD} = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ$$

Étape 3

Les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont parallèles et coupées par la sécante $(BC)$. Les angles $\widehat{ABC}$ et $\widehat{BCD}$ sont alternes-internes. Comme les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont parallèles, ces angles ont la même mesure, donc : $$\widehat{PBA} = \widehat{ABC} = 65^\circ$$

Étape 4

Dans le triangle $PAB$, la somme des mesures des trois angles est égale à $180^\circ$. D'où : $$\widehat{APB} = 180^\circ - (\widehat{PAB} + \widehat{PBA}) = 180^\circ - (38^\circ + 65^\circ) = 180^\circ - 103^\circ = 77^\circ$$

Étape 5

La mesure de l'angle $\widehat{APB}$ est donc de $77^\circ$.