Étape 1
Puisque le segment $[SA]$ est la hauteur de la pyramide, la droite $(SA)$ est perpendiculaire au plan de la base $(ABCD)$. Elle est donc perpendiculaire à la droite $(AB)$. Le triangle $SAB$ est ainsi rectangle en $A$.
Étape 2
Dans le triangle $SAB$ rectangle en $A$, d'après le théorème de Pythagore : $$SB^2 = SA^2 + AB^2$$ En remplaçant par les valeurs données : $$10^2 = SA^2 + 8^2$$ $$100 = SA^2 + 64$$ d'où : $$SA^2 = 100 - 64 = 36$$ Comme une longueur est positive, on obtient : $$SA = \sqrt{36} = 6\text{ cm}$$
Étape 3
La base $ABCD$ est un rectangle de dimensions $AB = 8\text{ cm}$ et $BC = 5\text{ cm}$. Son aire est donnée par : $$\text{Aire}(ABCD) = AB \times BC = 8 \times 5 = 40\text{ cm}^2$$
Étape 4
Le volume $V$ de la pyramide se calcule à l'aide de la formule : $$V = \frac{1}{3} \times \text{Aire de la base} \times \text{hauteur}$$ $$V = \frac{1}{3} \times 40 \times 6 = 40 \times 2 = 80\text{ cm}^3$$ Le volume de la pyramide est donc égal à $80\text{ cm}^3$.
Méthode clé
Pour calculer le volume d'une pyramide, la hauteur est indispensable : si elle n'est pas donnée directement, on utilise le théorème de Pythagore dans un triangle rectangle reliant le sommet, la base et une arête latérale.
Piège à éviter
Ne pas confondre la longueur d'une arête latérale (ici $SB$) avec la hauteur de la pyramide (ici $SA$), et ne pas oublier le coefficient $\frac{1}{3}$ dans la formule du volume.
