Exercice Pythagore, triangle rectangle, hypotenuse — Théorème de Pythagore et sa réciproque (4ème)

★★ Avancé

On considère la figure ci-contre constituée de deux triangles rectangles $ABC$ et $ACD$.

Les longueurs connues sont $AB = 3\text{ cm}$, $BC = 4\text{ cm}$ et $CD = 12\text{ cm}$.

Calculer la longueur du segment $[AD]$.

Saisir la longueur AD.

Figure donnée à titre indicatif

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Réponse finale

Étape 1

Le triangle $ABC$ est rectangle en $B$. Son hypoténuse est le côté $[AC]$.

Étape 2

D'après le théorème de Pythagore : $$AC^2 = AB^2 + BC^2$$ $$AC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$$ D'où $AC = \sqrt{25} = 5\text{ cm}$.

Étape 3

Le triangle $ACD$ est rectangle en $C$. Son hypoténuse est le côté $[AD]$.

Étape 4

D'après le théorème de Pythagore : $$AD^2 = AC^2 + CD^2$$ $$AD^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$$ D'où $AD = \sqrt{169} = 13\text{ cm}$.

Étape 5

La longueur $AD$ est donc égale à 13 cm.

Méthode clé

Dans une figure composée de plusieurs triangles rectangles, calculer les longueurs inconnues étape par étape à l'aide du théorème de Pythagore.

Piège à éviter

Chercher à calculer directement la longueur $AD$ sans déterminer au préalable la longueur intermédiaire $AC$.

Exercice : Théorème de Pythagore et sa réciproque