Exercice : Programmes de calcul et mise en équation

Étape 1

Première étape : expression des périmètres en fonction de $x$.

Étape 2

Le périmètre $P_1$ du rectangle (Zone 1) est donné par la formule du périmètre d'un rectangle :

Étape 3

$$P_1 = 2 \times (x + 3x - 4) = 2 \times (4x - 4) = 8x - 8$$

Étape 4

Le périmètre $P_2$ du carré (Zone 2) est donné par la formule du périmètre d'un carré :

Étape 5

$$P_2 = 4 \times (x + 2) = 4x + 8$$

Étape 6

Deuxième étape : mise en équation et résolution.

Étape 7

L'énoncé indique que le périmètre de la Zone 1 dépasse de $20\text{ m}$ celui de la Zone 2, ce qui donne l'équation :

Étape 8

$$8x - 8 = (4x + 8) + 20$$

Étape 9

$$8x - 8 = 4x + 28$$

Étape 10

En soustrayant $4x$ de chaque côté de l'égalité :

Étape 11

$$4x - 8 = 28$$

Étape 12

En ajoutant $8$ de chaque côté de l'égalité :

Étape 13

$$4x = 36$$

Étape 14

D'où $x = \frac{36}{4} = 9$.

Étape 15

Troisième étape : calcul de la longueur de la Zone 1.

Étape 16

La longueur de la Zone 1 s'exprime par $3x - 4$. En remplaçant $x$ par $9$ :

Étape 17

$$3 \times 9 - 4 = 27 - 4 = 23$$

Étape 18

La longueur de la Zone 1 est égale à $23\text{ m}$.