Exercice : Problèmes de divisibilité

Étape 1

Pour que l'artisan puisse répartir équitablement tous les pralinés dans 72 coffrets identiques, le nombre de pralinés au chocolat noir et le nombre de pralinés au chocolat blanc doivent être tous deux divisibles par 72.

Étape 2

Décomposons 360 et 72 en produits de facteurs premiers :$$360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$$$$72 = 2^3 \times 3^2$$

Étape 3

Le nombre de pralinés au chocolat blanc est un multiple de 72 compris entre 350 et 450. Cherchons les multiples de 72 dans cet intervalle :$$72 \times 5 = 360$$$$72 \times 6 = 432$$$$72 \times 7 = 504$$Les deux nombres candidats sont donc 360 et 432.

Étape 4

Testons la première possibilité : si l'artisan avait 360 pralinés au chocolat blanc, il aurait 360 pralinés noirs et 360 pralinés blancs. Le nombre maximal de coffrets identiques qu'il pourrait fabriquer serait alors 360 (et non 72). Cette possibilité est donc à rejeter.

Étape 5

Testons la seconde possibilité : 432 pralinés au chocolat blanc. Décomposons 432 en produit de facteurs premiers :$$432 = 2^4 \times 3^3$$

Étape 6

Les facteurs premiers communs à 360 ($2^3 \times 3^2 \times 5$) et 432 ($2^4 \times 3^3$) pris avec leurs plus petits exposants sont $2^3 \times 3^2 = 72$. Le nombre maximal de coffrets identiques réalisable est donc bien 72.

Étape 7

L'artisan dispose donc de 432 pralinés au chocolat blanc.