Étape 1
Décomposons le nombre de roses rouges en produit de facteurs premiers : $$210 = 2 \times 3 \times 5 \times 7$$
Étape 2
Le fleuriste peut former au maximum $42$ bouquets identiques. La décomposition de $42$ en facteurs premiers est : $$42 = 2 \times 3 \times 7$$
Étape 3
Chaque bouquet contient donc $210 \div 42 = 5$ roses rouges.
Étape 4
Puisque toutes les roses jaunes sont réparties équitablement dans les $42$ bouquets, le nombre total de roses jaunes doit être un multiple de $42$.
Étape 5
Cherchons les multiples de $42$ compris entre $100$ et $200$ : $$42 \times 3 = 126$$ $$42 \times 4 = 168$$
Étape 6
Calculons le nombre de roses jaunes par bouquet pour chacune de ces deux possibilités :
- Si le total est de $126$ roses jaunes : $126 \div 42 = 3$ roses jaunes par bouquet ($3$ est un nombre impair).
- Si le total est de $168$ roses jaunes : $168 \div 42 = 4$ roses jaunes par bouquet ($4$ est un nombre pair).
Étape 7
L'énoncé précise que chaque bouquet doit contenir un nombre impair de roses jaunes. La seule valeur possible est donc $126$.
Étape 8
Vérifions que $42$ est bien le nombre maximal de bouquets identiques avec $126$ roses jaunes. La décomposition en facteurs premiers de $126$ est $$126 = 2 \times 3^2 \times 7$$ Les facteurs premiers communs à $210$ et $126$ sont $2$, $3$ et $7$. Leur produit vaut $2 \times 3 \times 7 = 42$. Le nombre maximal de bouquets est bien $42$.
Étape 9
Le fleuriste possède donc au total $126$ roses jaunes.
Méthode clé
Lorsque l'on répartit la totalité d'un stock dans un nombre $N$ de lots identiques, le nombre total d'éléments de chaque sorte est nécessairement un multiple de $N$.
Piège à éviter
Oublier de vérifier que le nombre de roses jaunes par bouquet est un nombre impair comme exigé par la consigne.
