Exercice : Problèmes de divisibilité

Étape 1

Pour que tous les chocolats soient utilisés et répartis équitablement, le nombre de sachets doit être un diviseur commun à $72$ et $108$. Pour obtenir le plus grand nombre possible de sachets, on cherche leur plus grand diviseur commun.

Étape 2

On décompose $72$ et $108$ en produits de facteurs premiers :$$72 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^3 \times 3^2$$$$108 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 = 2^2 \times 3^3$$

Étape 3

On identifie les facteurs premiers communs aux deux décompositions : il s'agit de deux facteurs $2$ et de deux facteurs $3$.

Étape 4

On calcule le produit de ces facteurs communs :$$2 \times 2 \times 3 \times 3 = 4 \times 9 = 36$$

Étape 5

Le plus grand diviseur commun de $72$ et $108$ est donc $36$. Le chocolatier peut constituer au maximum $36$ sachets (contenant chacun $2$ chocolats noirs et $3$ chocolats au lait).