Étape 1
Étape 1 : Exprimer les deux grandeurs avec la même puissance de 10. Le diamètre de l'alvéole pulmonaire est $2 \times 10^{-4}\text{ m}$. En utilisant la règle des puissances de 10, on peut l'écrire : $$2 \times 10^{-4}\text{ m} = 200 \times 10^{-6}\text{ m}$$ (Ou sous forme décimale : $0{,}0002\text{ m}$ pour l'alvéole et $0{,}000003\text{ m}$ pour la bactérie).
Étape 2
Étape 2 : Poser la condition sur le nombre $n$ de bactéries. On cherche le plus petit entier $n$ tel que la longueur de $n$ bactéries soit supérieure ou égale au diamètre de l'alvéole : $$n \times 3 \times 10^{-6}\text{ m} \ge 200 \times 10^{-6}\text{ m}$$ Ce qui équivaut à comparer les coefficients : $$n \times 3 \ge 200$$
Étape 3
Étape 3 : Calculer et déterminer la valeur seuil de $n$. En divisant $200$ par $3$, on obtient : $$200 \div 3 \approx 66{,}67$$ Testons les deux entiers consécutifs autour de ce résultat :
Étape 4
Pour $n = 66$ : $$66 \times 3 \times 10^{-6}\text{ m} = 198 \times 10^{-6}\text{ m} = 1{,}98 \times 10^{-4}\text{ m}$$ Cette valeur est strictement inférieure à $2 \times 10^{-4}\text{ m}$, donc $66$ bactéries ne suffisent pas.
Étape 5
Pour $n = 67$ : $$67 \times 3 \times 10^{-6}\text{ m} = 201 \times 10^{-6}\text{ m} = 2{,}01 \times 10^{-4}\text{ m}$$ Cette valeur dépasse $2 \times 10^{-4}\text{ m}$. La valeur minimale de l'entier $n$ est donc $67$.
Méthode clé
Pour comparer ou effectuer des opérations sur des nombres en notation scientifique, il est très efficace de les exprimer avec la même puissance de 10.
Piège à éviter
Arrondir à l'entier inférieur (66) au lieu de l'entier supérieur (67), ce qui donnerait une longueur encore insuffisante.
