Exercice : Ordres de grandeur et comparaison de nombres

Étape 1

On commence par déterminer l'ordre de grandeur de chaque grandeur connue en arrondissant le premier facteur à l'entier le plus proche : le volume d'eau est d'environ $5 \times 10^4\text{ L}$ et la concentration est d'environ $2 \times 10^5$ micro-algues par litre.

Étape 2

On calcule l'ordre de grandeur du nombre total $N$ de micro-algues dans le bassin : $$N \approx (5 \times 10^4) \times (2 \times 10^5)$$ $$N \approx (5 \times 2) \times (10^4 \times 10^5) = 10 \times 10^9 = 10^{10}$$ Le bassin contient donc environ $10^{10}$ micro-algues.

Étape 3

L'ordre de grandeur de la masse de lipides produite par une seule micro-algue est : $$3{,}1 \times 10^{-n} \approx 3 \times 10^{-n}\text{ g}$$

Étape 4

On exprime ensuite l'ordre de grandeur de la masse totale $M$ de lipides en multipliant le nombre total de micro-algues par la masse unitaire : $$M \approx 10^{10} \times (3 \times 10^{-n}) = 3 \times 10^{10 + (-n)} = 3 \times 10^{10-n}\text{ g}$$

Étape 5

D'après l'estimation du chercheur, cette masse totale vaut $3 \times 10^4\text{ g}$. On a donc l'égalité : $$3 \times 10^{10-n} = 3 \times 10^4$$ Les puissances de 10 doivent être égales, ce qui donne : $$10 - n = 4$$ d'où : $$n = 10 - 4 = 6$$