Exercice : Ordres de grandeur et comparaison de nombres

Étape 1

Pour déterminer le rapport cherché, on commence par identifier l'élément le plus grand et l'élément le plus petit en comparant leurs dimensions données en notation scientifique.

Étape 2

On compare les puissances de 10 en observant leurs exposants. Comme $-10 < -7 < -6 < -5$, on a : $$10^{-10} < 10^{-7} < 10^{-6} < 10^{-5}$$

Étape 3

On en déduit le rangement des dimensions : $$3 \times 10^{-10}\text{ m} < 1{,}2 \times 10^{-7}\text{ m} < 2 \times 10^{-6}\text{ m} < 6 \times 10^{-5}\text{ m}$$ L'élément le plus grand est donc la cellule végétale ($6 \times 10^{-5}\text{ m}$) et l'élément le plus petit est la molécule ($3 \times 10^{-10}\text{ m}$).

Étape 4

On calcule ensuite le quotient de la dimension maximale par la dimension minimale : $$k = \frac{6 \times 10^{-5}}{3 \times 10^{-10}}$$ En séparant les coefficients et les puissances de 10, on obtient : $$k = \frac{6}{3} \times \frac{10^{-5}}{10^{-10}}$$ Or $\frac{6}{3} = 2$ et $\frac{10^{-5}}{10^{-10}} = 10^{-5 - (-10)} = 10^{-5 + 10} = 10^5$.

Étape 5

On conclut : $$k = 2 \times 10^5 = 200\,000$$ L'élément le plus grand est donc $200\,000$ fois plus grand que l'élément le plus petit.