Étape 1
Commençons par écrire dans l'ordre croissant les premiers nombres entiers et identifions ceux qui sont premiers (c'est-à-dire qui possèdent exactement deux diviseurs distincts : 1 et eux-mêmes).
Étape 2
Les 15 premiers nombres premiers sont : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 et 47.
Étape 3
Vérifions la condition sur la somme des deux plus grands de cette liste. Les deux plus grands sont 43 et 47. Leur somme vaut : $$43 + 47 = 90$$ La seconde condition est bien respectée.
Étape 4
Déterminons maintenant le nombre premier suivant dans la liste. L'entier 48 est pair, 49 est égal à $7 \times 7$, 50 est pair, 51 est égal à $3 \times 17$, 52 est pair. Le nombre 53 n'a pas d'autre diviseur que 1 et lui-même : c'est le 16e nombre premier.
Étape 5
Pour qu'il y ait exactement 15 nombres premiers strictement inférieurs à $N$, l'entier $N$ doit être supérieur à 47 (pour inclure 47) et inférieur ou égal à 53 (pour ne pas inclure 53 dans la liste des nombres strictement inférieurs à $N$).
Étape 6
Si $N = 53$, les nombres premiers strictement inférieurs à 53 sont bien au nombre de 15 (de 2 à 47). Si $N = 54$, le nombre 53 deviendrait strictement inférieur à 54, et il y en aurait 16.
Étape 7
La plus grande valeur possible pour l'entier $N$ est donc 53.
Méthode clé
Dresser la liste ordonnée des nombres premiers en testant la divisibilité de chaque entier par les nombres premiers déjà trouvés.
Piège à éviter
Oublier que la condition est « strictement inférieur à $N$ » : si $N = 53$, 53 n'est pas strictement inférieur à lui-même.
