Étape 1
On commence par décomposer $2\,940$ en produit de facteurs premiers en utilisant les critères de divisibilité usuels :
Étape 2
$2\,940$ est pair, donc divisible par 2 : $2\,940 = 2 \times 1\,470$.
Étape 3
$1\,470$ est pair, donc divisible par 2 : $1\,470 = 2 \times 735$.
Étape 4
La somme des chiffres de $735$ vaut $7 + 3 + 5 = 15$, qui est un multiple de 3, donc $735$ est divisible par 3 : $735 = 3 \times 245$.
Étape 5
$245$ se termine par 5, donc il est divisible par 5 : $245 = 5 \times 49$.
Étape 6
Enfin, $49$ est dans la table de 7 : $49 = 7 \times 7$.
Étape 7
On obtient ainsi la décomposition complète : $$2\,940 = 2 \times 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 7$$
Étape 8
Un nombre entier est le carré d'un entier s'il peut s'écrire comme le produit de deux nombres entiers identiques. Dans sa décomposition en facteurs premiers, chaque facteur doit donc apparaître un nombre pair de fois afin d'être réparti équitablement dans chacun des deux facteurs identiques.
Étape 9
Dans la décomposition de $2\,940$, les facteurs 2 et 7 apparaissent deux fois ($2 \times 2$ et $7 \times 7$). En revanche, les facteurs 3 et 5 n'apparaissent qu'une seule fois.
Étape 10
Pour que le produit $2\,940 \times n$ soit le carré d'un entier, il faut apporter au minimum un facteur 3 et un facteur 5 supplémentaires.
Étape 11
Le plus petit nombre entier naturel non nul $n$ est donc : $$n = 3 \times 5 = 15$$
Étape 12
On peut vérifier que $2\,940 \times 15 = 44\,100$, et que $44\,100 = (2 \times 3 \times 5 \times 7) \times (2 \times 3 \times 5 \times 7) = 210 \times 210 = 210^2$.
Méthode clé
Décomposer l'entier en facteurs premiers pour repérer les facteurs qui ne sont pas associés par deux.
Piège à éviter
Multiplier $2\,940$ par lui-même en oubliant que l'on cherche la plus petite valeur possible pour $n$.
