Exercice : La translation : constructions, pavages et propriétés

Étape 1

Le triangle $A'B'C'$ est l'image du triangle $ABC$ par une translation. Comme la translation conserve les angles et les aires, le triangle $A'B'C'$ est rectangle en $A'$ et son aire est de $24\text{ cm}^2$.

Étape 2

L'aire d'un triangle rectangle est égale au demi-produit des longueurs de ses deux côtés de l'angle droit :

Étape 3

$$\text{Aire}(A'B'C') = \frac{A'B' \times A'C'}{2}$$

Étape 4

En remplaçant par les valeurs connues, on obtient :

Étape 5

$$\frac{8 \times A'C'}{2} = 24$$

Étape 6

Ce qui équivaut à $4 \times A'C' = 24$, d'où $A'C' = 6\text{ cm}$.

Étape 7

Dans le triangle $A'B'C'$ rectangle en $A'$, on applique le théorème de Pythagore :

Étape 8

$$B'C'^2 = A'B'^2 + A'C'^2$$

Étape 9

$$B'C'^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$$

Étape 10

La longueur $B'C'$ étant positive, on calcule $B'C' = \sqrt{100} = 10\text{ cm}$.

Étape 11

Enfin, la translation conserve les longueurs. La longueur du côté $[BC]$ du triangle initial est donc égale à la longueur $B'C'$ du triangle image :

Étape 12

$$BC = B'C' = 10\text{ cm}$$