Exercice : La translation : constructions, pavages et propriétés

Étape 1

Étape 1 : Calcul de la longueur du côté $[AC]$
Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. D'après le théorème de Pythagore :
$$BC^2 = AB^2 + AC^2$$
En remplaçant par les valeurs de l'énoncé :
$$10^2 = 6^2 + AC^2$$
$$100 = 36 + AC^2$$
D'où $AC^2 = 100 - 36 = 64$. Comme une longueur est toujours positive, nous avons $AC = \sqrt{64} = 8\text{ cm}$.

Étape 2

Étape 2 : Calcul de l'aire du triangle $ABC$
Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, ses côtés $[AB]$ et $[AC]$ sont perpendiculaires. Son aire est donnée par la formule :
$$\text{Aire}(ABC) = \frac{AB \times AC}{2} = \frac{6 \times 8}{2} = 24\text{ cm}^2$$

Étape 3

Étape 3 : Propriété de conservation de la translation
Le triangle $A'B'C'$ est l'image du triangle $ABC$ par un glissement en ligne droite sans rotation, c'est-à-dire par une translation.
Or, la translation conserve les aires.
Par conséquent, l'aire du triangle $A'B'C'$ est égale à celle du triangle $ABC$, soit $24\text{ cm}^2$.