Exercice : Démonstrations géométriques

Étape 1

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$, d'après le théorème de Pythagore :$$BC^2 = AB^2 + AC^2$$En remplaçant par les valeurs données :$$BC^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$$Une longueur étant positive, on obtient :$$BC = \sqrt{100} = 10\text{ cm}$$

Étape 2

Les droites $(DE)$ et $(AC)$ sont toutes les deux perpendiculaires à la droite $(AB)$. Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, alors elles sont parallèles entre elles. On en déduit que $(DE) \parallel (AC)$.

Étape 3

Dans le triangle $BAC$, le point $D$ appartient au segment $[BA]$, le point $E$ appartient au segment $[BC]$, et les droites $(DE)$ et $(AC)$ sont parallèles. D'après le théorème de Thalès :$$\frac{BD}{BA} = \frac{BE}{BC} = \frac{DE}{AC}$$En utilisant les longueurs connues :$$\frac{2}{8} = \frac{BE}{10}$$On en déduit :$$BE = \frac{2 \times 10}{8} = 2{,}5\text{ cm}$$