Exercice : Démonstrations géométriques

Étape 1

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$, on applique le théorème de Pythagore pour calculer la longueur de l'hypoténuse $[BC]$ :

Étape 2

$$BC^2 = AB^2 + AC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$$

Étape 3

D'où $BC = \sqrt{100} = 10\text{ cm}$.

Étape 4

Par propriété de la translation, la translation qui transforme $A$ en $C$ conserve les distances. Le segment $[CD]$ est l'image du segment $[AB]$, donc $CD = AB = 6\text{ cm}$.

Étape 5

Dans le triangle $BDC$, les points $B, E, C$ d'une part et $B, F, D$ d'autre part sont alignés dans cet ordre, et les droites $(EF)$ et $(CD)$ sont parallèles. D'après le théorème de Thalès :

Étape 6

$$\frac{BE}{BC} = \frac{BF}{BD} = \frac{EF}{CD}$$

Étape 7

En remplaçant par les valeurs numériques connues :

Étape 8

$$\frac{4}{10} = \frac{EF}{6}$$

Étape 9

On en déduit la longueur cherchée :

Étape 10

$$EF = \frac{4 \times 6}{10} = 2{,}4\text{ cm}$$