Exercice : Démonstrations géométriques

Étape 1

Puisque le point $F$ est l'image du point $D$ par la translation qui transforme $A$ en $E$, le quadrilatère $ADFE$ est un parallélogramme.

Étape 2

Les côtés opposés d'un parallélogramme ont la même longueur, d'où $AE = DF = 4\text{ cm}$.

Étape 3

Dans le triangle $ABC$, le point $D$ appartient au segment $[AB]$, le point $E$ appartient au segment $[AC]$, et les droites $(DE)$ et $(BC)$ sont parallèles.

Étape 4

D'après le théorème de Thalès, on a l'égalité des rapports : $$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$$

Étape 5

En remplaçant par les données numériques, on obtient : $$\frac{AD}{15} = \frac{4}{10}$$

Étape 6

On en déduit la longueur cherchée : $$AD = \frac{15 \times 4}{10} = 6\text{ cm}$$