Étape 1
Par définition de la translation, si le point $D$ est l'image de $B$ par la translation qui transforme $A$ en $C$, alors le quadrilatère $ACDB$ est un parallélogramme.
De plus, le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, donc l'angle $\widehat{BAC}$ est un angle droit.
Un parallélogramme possédant un angle droit est un rectangle. Ainsi, $ACDB$ est un rectangle.
On en déduit que ses côtés opposés sont de même longueur, soit $$CD = AB = 12\text{ cm}$$ et que l'angle $\widehat{ACD}$ est un angle droit ($90^\circ$).
Étape 2
Dans le triangle $ABC$, le point $E$ appartient au segment $[AB]$, le point $F$ appartient au segment $[AC]$, et les droites $(EF)$ et $(BC)$ sont parallèles.
D'après le théorème de Thalès, on a l'égalité des rapports :
$$\frac{AE}{AB} = \frac{AF}{AC}$$
En remplaçant par les valeurs données dans l'énoncé :
$$\frac{8}{12} = \frac{AF}{15}$$
Soit $\frac{2}{3} = \frac{AF}{15}$, d'où :
$$AF = \frac{2 \times 15}{3} = 10\text{ cm}$$
Le point $F$ appartenant au segment $[AC]$, on détermine la longueur $FC$ :
$$FC = AC - AF = 15 - 10 = 5\text{ cm}$$
Étape 3
Le point $F$ appartient au segment $[AC]$ et $ACDB$ est un rectangle, donc le triangle $FCD$ est rectangle en $C$.
D'après le théorème de Pythagore dans le triangle $FCD$ rectangle en $C$ :
$$FD^2 = FC^2 + CD^2$$
$$FD^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$$
D'où :
$$FD = \sqrt{169} = 13\text{ cm}$$
Méthode clé
Décomposer le problème en identifiant les propriétés de la translation pour caractériser la nature du quadrilatère, puis utiliser la configuration de droites parallèles pour calculer la longueur d'un segment intermédiaire avant d'appliquer le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle final.
Piège à éviter
Oublier de justifier que l'angle $\widehat{ACD}$ est droit et que le quadrilatère $ACDB$ est un rectangle avant d'appliquer la relation de Pythagore dans le triangle $FCD$.
