Exercice : Cosinus dans le triangle rectangle

Étape 1

Étape 1 : Calcul de la longueur $AC$ dans le triangle $ACD$.

Étape 2

Le triangle $ACD$ est rectangle en $C$. Son hypoténuse est le côté $[AD]$. D'après le théorème de Pythagore : $$AD^2 = AC^2 + CD^2$$ En remplaçant par les valeurs données : $$13^2 = AC^2 + 5^2$$ $$169 = AC^2 + 25$$ $$AC^2 = 169 - 25 = 144$$ Comme $AC$ représente une longueur, c'est un nombre positif : $$AC = \sqrt{144} = 12\text{ cm}$$

Étape 3

Étape 2 : Calcul de la longueur $AB$ dans le triangle $ABC$.

Étape 4

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$, le côté $[AC]$ est l'hypoténuse et le côté $[AB]$ est le côté adjacent à l'angle aigu $\widehat{BAC}$.

Étape 5

Par définition du cosinus d'un angle aigu dans un triangle rectangle : $$\cos(\widehat{BAC}) = \frac{AB}{AC}$$

Étape 6

En remplaçant par les valeurs connues : $$\cos(60^\circ) = \frac{AB}{12}$$ $$0{,}5 = \frac{AB}{12}$$

Étape 7

On isole la longueur recherchée : $$AB = 12 \times 0{,}5 = 6\text{ cm}$$

Étape 8

La longueur du segment $[AB]$ est égale à $6\text{ cm}$.