Exercice : Cosinus dans le triangle rectangle

Étape 1

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$, d'après le théorème de Pythagore, on a : $$AC^2 = AB^2 + BC^2$$ $$AC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$$ D'où $AC = \sqrt{25} = 5\text{ cm}$.

Étape 2

Dans le triangle $ACD$ rectangle en $C$, le segment $[AC]$ est le côté adjacent à l'angle $\widehat{CAD}$ et $[AD]$ est l'hypoténuse.

Étape 3

Par définition du cosinus dans un triangle rectangle : $$\cos(\widehat{CAD}) = \frac{AC}{AD}$$

Étape 4

En remplaçant par les valeurs numériques connues : $$0{,}5 = \frac{5}{AD}$$

Étape 5

On en déduit la longueur $AD$ : $$AD = \frac{5}{0{,}5} = 10\text{ cm}$$