Exercice : Cosinus dans le triangle rectangle

Étape 1

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$, le côté adjacent à l'angle $\widehat{BAC}$ est $[AB]$ et l'hypoténuse est $[AC]$. Par définition du cosinus : $$\cos(\widehat{BAC}) = \frac{AB}{AC}$$

Étape 2

En remplaçant par les données de l'énoncé : $$0{,}8 = \frac{AB}{10}$$ D'où : $$AB = 10 \times 0{,}8 = 8\text{ cm}$$

Étape 3

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$, d'après le théorème de Pythagore : $$AC^2 = AB^2 + BC^2$$ $$10^2 = 8^2 + BC^2$$ $$100 = 64 + BC^2$$ $$BC^2 = 100 - 64 = 36$$ Une longueur étant toujours positive, on en déduit que $BC = 6\text{ cm}$.

Étape 4

Dans le triangle $BCD$ rectangle en $C$, le côté adjacent à l'angle $\widehat{DBC}$ est $[BC]$ et l'hypoténuse est $[BD]$. Par définition du cosinus : $$\cos(\widehat{DBC}) = \frac{BC}{BD}$$

Étape 5

En remplaçant par les valeurs obtenues : $$0{,}75 = \frac{6}{BD}$$ D'où : $$BD = \frac{6}{0{,}75} = 8\text{ cm}$$