Étape 1
On cherche la fraction de la somme totale restante après la première dépense. La somme de départ est représentée par l'unité 1 : $$1 - \frac{3}{7} = \frac{7}{7} - \frac{3}{7} = \frac{4}{7}$$ Après l'hébergement, il reste les $\frac{4}{7}$ de la somme initiale.
Étape 2
On calcule la fraction de la somme totale correspondant à la deuxième dépense. Antoine dépense les $\frac{2}{5}$ du reste : $$\frac{2}{5} \times \frac{4}{7} = \frac{2 \times 4}{5 \times 7} = \frac{8}{35}$$ La deuxième dépense représente $\frac{8}{35}$ de la somme totale.
Étape 3
On détermine la fraction de la somme totale qu'il reste à la fin : $$\frac{4}{7} - \frac{8}{35} = \frac{20}{35} - \frac{8}{35} = \frac{12}{35}$$ Les 84 € restants représentent donc les $\frac{12}{35}$ du montant initial.
Étape 4
Pour déterminer la somme initiale, on divise le montant restant par la fraction correspondante. Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse : $$84 \div \frac{12}{35} = 84 \times \frac{35}{12}$$ On simplifie le calcul : $$\frac{84}{12} \times 35 = 7 \times 35 = 245$$ Antoine possédait 245 € au départ.
Méthode clé
Pour retrouver la quantité initiale, on calcule la fraction du total que représente le reste final, puis on divise la valeur numérique restante par cette fraction en multipliant par son inverse.
Piège à éviter
Additionner directement 3/7 et 2/5 sans tenir compte du fait que la deuxième dépense s'applique sur le reste et non sur la somme totale.
